Ich weiß ja nicht, ob du dein Visum schon hast,
aber ich hätte dir ein Geschäftsvisum vorgeschlagen, das entsprechend deinem insgesamten Russlandaufenthalt gilt (bis zu einem Jahr), mit zweifacher bzw. mehrfacher Ein-/Ausreise.
Dann musst du in Korea kein neues Touri-Visum beantragen und es sollte auch keine Probleme geben, wenn du das Auto in Wladi stehen lässt.
Ob das mit einem "ablaufenden" Touri-Visum wirklich so unproblematisch ist, will ich vorsichtig bezweifeln. In Moskau auf dem Flughafen mögen sich die Grenzer mit Autos weniger auskennen, aber in Wladivostok habe ich schon sehr nervige Kontrollen erlebt.
Die Provinzen sind manchmal übergenau.

Du fragst auch nach der Verwahrung deines Autos. Ob der Zoll es nimmt, weiß ich nicht. Ansonsten gibt es kostenpflichtige Parkplätze und -häuser.
Am geschicktesten wäre wohl, einen Russen in Wladi ausfindig zu machen, der dir eine zuverlässige Stojanka empfehlen kann.

Zu deiner Zusatzfrage:
Solange du neben dran sitzt, kann dein Auto steuern, wer will. Wenn du nicht dabei bist, braucht es eine Vollmacht für den Fahrer (doverenost'). Es sollte keinen Unterschied machen, ob das Auto in Russland oder Deutschland gemeldet ist.
Für die Vollmacht gibt es kleine Vordrucke, die man einfach ausfüllt, ansonsten geht es auch formlos auf einem Blatt Papier (es sollten aber auf jeden Fall sämtliche Passdaten und die wichtigsten Autodaten genannt sein), nehme an, du brauchst dies nur für kurze Abschnitte und nicht gleich für ein Jahr (dann empfiehlt sich eine notarielle Vollmacht).

Viele Grüße
Eliane